Безмоментная теория оболочек

Безмоментная теория оболочек представляет собой упрощенный вариант общей теории, в котором пренебрегают влиянием изгибающих и крутящих моментов, а также поперечных сил на напряженно-деформированное состояние.

Для того чтобы существовало безмоментное напряженное состояние, необходимы следующие условия.

• 1. Оболочка должна иметь форму плавно изменяющейся непрерывной поверхности с постоянной или плавно меняющейся толщиной h. Резкое изменение указанных величин создает разницу в деформациях и вызывает изгиб. В местах резкого изменения геометрии оболочки (скачка) величины перемещений, определяемых по безмоментной теории, терпят разрыв.
• 2. Нагрузка на оболочку должна быть плавной и непрерывной. Безмоментная оболочка не может работать на сосредоточенную силу, перпендикулярную ее поверхности.
• 3. Закрепление краев оболочки должно быть таким, чтобы ее край мог свободно перемещаться по нормали. Углы поворота и нормальные перемещения на краях оболочки не должны быть стеснены.
• 4. Силы, приложенные к краю оболочки, должны лежать в касательной плоскости.

Наиболее выгодным для работы оболочки является безмоментное состояние. К нему и стремятся, придавая оболочке соответствующую форму и закрепляя ее надлежащим образом. Безмоментная теория – это аппарат, который в одних случаях дает строгое описание, в других – достаточно хорошее приближенное описание напряженно-деформированного состояния оболочек. В ряде случаев безмоментная теория неприменима вовсе.

Уравнения безмоментной теории получим как частный случай уравнений равновесия (7.1) общей моментной теории при условии равенства нулю моментов М и, М г, Н:

Расчет оболочек вращения по безмоментной теории

Рассмотрим оболочку вращения с произвольным меридианом (рис. 7.17), который, вращаясь вокруг оси вращения, формирует срединную поверхность оболочки вращения.

Рис. 7.17.

Примем за параметр и угол между нормалью к меридиану и осью вращения Oz , за параметр v – центральный угол вращения точки С вокруг оси Oz, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу. Принятая система криволинейных координат и, v будет координатной системой в линиях главных кривизн.

Согласно рис. 7.17 имеем: , , т.е.

Подставляем значения в уравнения равновесия безмоментной теории (7.4):

(7.5)

Далее будем рассматривать осесимметричную задачу, которая возможна при Y = 0. В этом случае в уравнениях исчезнут члены, содержащие производные по v, так как внутренние усилия будут зависеть только от параметра и. В этом случае система (7.5) упростится и примет вид

(7.6)

Из последнего уравнения находим значение нормального усилия:

подставив которое в первое уравнение системы (7.6), получаем

Интегрируя результат подстановки, находим

где постоянная интегрирования С находится из граничных условий. После вычислениянаходим по формуле (7.7).

Пример 7.1. Рассчитаем по безмоментной теории сферическую оболочку радиусом R, изображенную на рис. 7.18. Оболочка нагружена внешним давлением р.

Рис. 7.18.

Все условия существования безмомснтного напряженного состояния в этом случае выполняются, поэтому будем использовать формулы (7.7) и (7.8),в которые необходимо подставить X = О, Z = -р (см. рис. 7.17), :

Для определения константы С можно использовать следующее рассуждение: в вершине конуса, т.е. при , не может быть бесконечно большого значения нормальной силы, а чтобы выполнить это условие, необходимо положить С = 0. Таким образом, получаем . По формуле (7.7) определяем . Следовательно, любой фрагмент оболочки, границы которого совпадают с координатными линиями (меридианами и параллелями), будет сжат в обоих направлениях нормальными силами -pR/2 [Н/м]. Касательное усилие в осесимметричной задаче для оболочек вращения равно нулю (S = 0).

Расчет осесимметричных тонких оболочек вращения по моментной теории

Для осесимметричной оболочки вращения имеем

Кроме того, ранее было определено

Подставляем выписанные значения в уравнения равновесия (7.1).

Безмоментная теория расчета тонкостенных оболочек предполагает следующие допущения:

Толщина оболочки должна быть достаточно малой по сравнению с ее другими геометрическими размерами. Например, для цилиндра толщина стенки должна составлять не более 10 % внутреннего диаметра;

Вследствие малой толщины нормальные напряжения растяжения или сжатия по толщине оболочки не изменяются , величина их в R/s раз больше изгибных (R- радиус оболочки) что и определяет безмоментное состояние.

По форме сосуд обязательно должен представлять оболочку вращения;

Нагрузка (давление на стенки) должна быть симметричной относительно оси вращения.

Кроме этого, теория упрощается путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемыхгипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е.:

- гипотезам плоских сечений;

- гипотезам “не надавливания” слоев оболочки друг на друга.

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины (S) оболочки к ее радиусу R , тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выполняются расчеты по безмоментной теории.

Как было сказано ранее, в стенках оболочек при действии давления возникают напряжения:

-σ r - радиальные, действуют вдоль радиуса;

- σ t – тангенциальные, касательные к параллельному кругу;

- σ m –меридиональные, касательные к меридиану.

При этом, на внутренних волокнах в точке 2 действуют все три напряженияσ r , σ t и σ m (рисунок 1.21 а), т.е. напряженное состояние - объемное , а на наружных в точке 1 – действуют только два напряжения σ t и σ m и напряженное состояние – плоское. Распределение напряжений по толщине стенки– неравномерное (рисунок 1.21 б).

Рисунок 1.21– Элементы, вырезанные на наружной (1) и внутренней (2) поверхностях оболочки (ось х совпадает с меридианом)

Радиальные напряжения на внутренних волокнах оболочки равны давлению Р (см рисунок 1.21). Но так как давление для тонких оболочек меньше 10 МПа, то радиальные напряжения значительно меньше допускаемых. Например, для стали Ст3 , допускаемое напряжение при 20 0 С равно 154 МПа. Поэтому для тонких оболочек пренебрегают радиальным напряжением, т.е. принимают σ r = 0 (рисунок 1.22) .

В этом случае напряженное состояние материала тонких оболочек - плоское и для внутренних и наружных волокон(рисунок1.22).Также принимают, что напряжения σ t и σ m распределяются равномерно по толщине стенки, т.е. постоянны по S (рисунок 1.22).

Рисунок 1.22 - Плоское напряженное состояние материала оболочки

Рисунок 1.23 - Напряжения, действующие в стенках оболочек, распределены равномерно (показаны эпюры только тангенциальных напряжений)

Кроме этого, как было сказано ранее, пренебрегают напряжениями, возникающими от изгибающих моментов. На рисунке 1.23 это σ m от Мm . Остаются только напряжения σ t и σ m соответственно, от усилий (рисунок 1.24):

U Р –продольных;

T Р –кольцевых (тангенциальных, окружных).

При этом данные усилия и напряжения в любом поперечном сечении цилиндрической части корпуса колонны постоянны при действии равномерного газового давления.

Рисунок 1.24 - Усилия и напряжения, возникающие в стенках тонких оболочках при расчете по безмоментной теории

Для толстостенных оболочек (сосудов высокого давления - СВД) радиальные напряжения могут достигать значительных величин. Например, при внутреннем давлении, равном 300 МПа, радиальные напряжения на внутренних волокнах будут также равны 300 МПа, что значительно больше, чем допускаемое напряжение. Поэтому в этом случае нельзя пренебрегать радиальным напряжением и тогда напряженное состояние СВД – объемное.

Таким образом, основная причина, по которой разделяю сосуды на тонкостенные и толстостенные – разные напряженные состояния:

Для тонкостенных – плоское НС ( σ r =0 ; σ m 0; σ т 0)

Для СВД – объемное НС σ r 0 ; σ m 0; σ т 0

Кроме того, для СВД учитывают, что напряжения распределяются по толщине стенки неравномерно.

Резюмируя, можно сказать, что при расчете тонких оболочек по безмоментной теории при действии внутреннего давления принимают, что:

Напряжения от изгибающих моментов малы и ими пренебрегают ;

Напряженное состояние плоское, т.е. не учитывают радиальные напряжения;

Напряжения σ t и σ m по толщине стенки распределяютсяравномерно.

В этом случае, необходимо определить только меридиональные и кольцевые напряжения, причем только от усилий U и T.

На участках удаленных от узла сопряжения (см. рисунок 1.20), указанные напряжения определяются по известным формулам безмоментной теории.

Для цилиндрической оболочки данные зависимости имеют следующий вид

(1.14)

(1.15)

где - радиус срединной поверхности, мм.

Сравнение формул показывает, что

. (1.16)

Из последнего выражения следует, что в продольных швах действуют в два раза большие напряжения, чем в поперечных (рисунок 1.25) и, соответственно, по этим швам или вдоль меридиана в первую очередь может произойти разрыв оболочки и ее разрушение (рисунок 1.26).

Рисунок 1.25 – Наиболее опасные продольные швы

Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности .

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной .

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машиностроении - это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве - покрытия и перекрытия, навесы, карнизы; в кораблестроении - корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении - фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике - защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Если срединная поверхность оболочки образует поверхность вращения в форме цилиндра, то оболочку называют цилиндриче­ской .

К схеме осесимметричной цилиндрической оболочки сводится очень много инженерных конструкций, в том числе: котлов, баков, нефтепроводов, газопроводов, деталей машин и др.

Задача о расчете тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напря­жения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует.

Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

Если оболочка имеет резкий переход и жесткие защемления и, кроме того, нагружена сосредоточенной силой и моментами, то в местах крепежа оболочки, резких изменений формы, и в местах действия сосредоточенных сил и моментов возникают интенсивные напряжения, обусловленные изгибным эффектом . Учет изгиб­ных эффектов можно получить в рамках моментной теории оболочек.

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины h обо­лочки к ее радиусу R , тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выпол­няются расчеты по безмоментной теории.

Отметим, что оболочка считается тонкой , если h/R≤1/20.

Следовательно, при расчете на прочность тонких оболочек в зависимости от характера распределения внешних нагрузок, опорных закреплений, применяется или безмоментная или моментная теория. При этом предполагается равномерное распределение напряжений по продольным и поперечным сечениям оболочек (отсутствие в этих сечениях изгибающих, крутящих моментов и попе­речных сил).

При осесимметричной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы. Определение усилий по безмоментной теории производится достаточно точно на расстоянии, превышающем величину (3÷5) от мест скачкообразного изменения формы или площади сечения, жестких контурных закреплений или от места приложения внешних сосредоточенных сил и моментов. Вблизи указанных мест возникают дополнительные напряжения от изгибного эффекта.

В моментной и безмоментной теории тонких оболочек или, так называемой технической теории оболочек , состоящей в рез­ком различии их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность упрощения теории путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е. гипотезам плоских сечений и гипотезам “ненадавливания” слоев оболочки друг на друга.

Эти гипотезы позволяют свести трехмерную задачу механики сплошной среды к двумерной, подобно тому как в теории стержней трехмерная задача сведена к одномерной.

Оболочки, к которым применимы упомянутые выше гипотезы, называются тонкими, а те, к которым эти гипотезы не применимы, называются толстыми .

Граница между тонкими и толстыми оболочками условны и определяются отношением h/R≈1/20.

В тех случаях, когда h/R≥1/20 для получения приемлемых ре­зультатов по точности применяется аппарат механики сплошной среды, в частности теории упругости или пластичности в зависи­мости от постановки задачи .

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения, толщина которой мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности (рис.1).

При расчете тонкостенных оболочек все нагрузки, действующие на них, прикладывают к срединной поверхности оболочки.

К тонким оболочкам могут быть отнесены такие часто встречающиеся элементы конструкций как резервуары, цистерны, газовые баллоны, корпуса аппаратов химических агрегатов и др.

При расчете таких элементов конструкций используется безмоментная теория оболочек , основные положения которой заключаются в следующем:

1. нагрузки, действующие на поверхности оболочки, могут считаться перпендикулярными им и симметричными относительно оси вращения оболочки;

2. вследствие малой толщины оболочки сопротивление изгибу отсутствует (изгибающий момент не возникает);

Из оболочки, изображенной на рис.1 выделим двумя меридиональными плоскостями nn 1 n 2 и nn 3 n 2 , (т.е. плоскостями проходящими через ось симметрии оболочки), с углом dφ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки BC и AD , элементABCD .

Радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим через R 2 , а радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через R 1 . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням AB и CD , соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями σ t . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням BС и AD , называются меридиональными напряжениями σ s . Кроме напряжений σ s и σ t . на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления q, перпендикулярного поверхности ABCD .

Рис.1 Тонкостенная осесимметричная оболочка

Основным уравнением безмоментной теории оболочек является уравнение Лапласа , которое имеет следующий вид

где δ - толщина оболочки,

σ t - окружное напряжение,

σ s – меридиональное напряжение,

R 2 - радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD ,

R 1 - радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану.

Прежде чем перейдем к рассмотрению различных вариантов определения напряжений в оболочках остановимся на некоторых различиях, вызванных наличием газа или жидкости внутри оболочки.

В случае газового давления величина давления q постоянная во всех точках поверхности оболочки. Для резервуаров, наполненных жидкостью, значение q по их высоте переменно.

Для случая наполнения резервуара жидкостью необходимо учитывать, что если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальные составляющие сил давления равны весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Поэтому давление жидкости в различных сечениях оболочки будет различным, в отличие от давления газа.

Определим напряжения в сферических и цилиндрических оболочках, т.к. они наиболее часто используются в промышленности.

ОБОЛОЧЕК ТЕОРИЯ

В теории упругости и строительной механике, основная цель к-рого состоит в описании напряжений н деформаций, возникающих под действием внешних нагрузок в оболочке. Оболочка - твердое , ограниченное двумя поверхностями, к-рое обладает малой по сравнению с другими характерными размерами толщиной. В О. т. рассматриваются и другие внешние воздействия, напр, тепловые.

В О. т. вводится гладкая g, наз. срединной, по обе стороны к-рой на расстоянии h(x)вдоль нор. . Наиболее распространенный вариант О. т. использует т. н. гипотезу Кирхгофа - Лява, согласно к-рой всякое нормальное к g волокно ( прямой, перпендикулярный к срединной поверхности) сохраняет после деформации свою прямолинейность, длину и нормальное положение к срединной поверхности. При этом предположении систему уравнений трехмерной теории упругости, описывающей перемещения точек оболочки как упругого твердого тела, сводят к системе трех дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными и - криволинейными координатами точки хнедефор-мированной срединной поверхности g. В общем случае эта система нелинейна. При дополнительных предположениях о малости деформаций и внешних нагрузок нелинейные члены могут быть отброшены. Задача сводится к решению линейной системы (см. , )

в к-рой - компоненты внешней нагрузки, - линейные дифференциальные операторы с коэффициентами, зависящими от геометрич. характеристик поверхности g, a u j (x)- искомые компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности. Система (1) решается при четырех граничных условиях, к-рые зависят от характера закрепления края g. Операторы в (1) имеют специальный вид:

малый параметр стоит при старших производных. Система (1) является эллиптической в смысле Дуглиса-Ниренберга (см. ) и формально самосопряженной (см. ). При естественно возникающих граничных условиях система (1) порождает эллиптич. краевую задачу. Систему (1) принято наз. системой уравнений моментной О. т., поскольку при ее получении учитываются члены, содержащие изгибающие и крутящие моменты. При дополнительных предположениях указанными членами пренебрегают, что приводит к безмоментной (мембранной) О. т. Формально этот переход сводится к отбрасыванию в (1) членов, содержащих малый параметр . Безмоментная система

существенно проще, чем система (1). Все операторы в (2) не выше 2-го порядка. Порядок определителя главного символа (характеристич. полинома) в случае системы (2) равен 4, а в случае (1) равен 8.

Наличие малого параметра в (1) позволяет воспользоваться процедурой асимптотич. интегрирования (см. ). Если гауссова Ксрединной поверхности gположительна, то система (2) эллиптична и при условиях полного или частичного закрепления края вырождение моментной задачи в безмоментную при регулярно. Заметное расхождение решений возможно лишь в малой окрестности края (краевой эффект). При.картина вырождения моментной системы при существенно сложнее; переход от системы (1) к (2) может привести к значительным погрешностям не только у края g, но и всюду внутри. Используемая в О. т. асимптотич. интегрирования при нерегулярном вырождении еще (1982) не нашла математич. обоснования.

Безмоментная О. т. тесно связана с проблемой бесконечно малых изгибаний поверхностей. Существенный вклад в безмоментную О. т. и одновременно в теорию бесконечно малых изгибаний был внесен благодаря привлечению аппарата обобщенных аналитических функций (см. ).

Важной задачей О. т. является исследование устойчивости форм равновесия, с к-рой связана проблема определения критич. нагрузки. Эти задачи рассматриваются в линейной (точнее, использующей линеаризацию) и нелинейной постановках. Один из методов их решения в нелинейной постановке существенно использует теорию изгибаний (см. ).

В задачах статики эффективен метод комплексного представления уравнений О. т., позволяющий путем введения вспомогательных функций свести систему (1) к эквивалентной системе с характеристич. многочленом 4-го порядка (см. ).

Среди вопросов динамики, подвергшихся интенсивному математич. анализу, находится проблема свободных и вынужденных колебаний, совершаемых оболочкой. Методами асимптотич. интегрирования и спектральной теории операторов найдена спектра собственных частот и строение соответствующих форм свободных колебаний (см. , ).

В О. т. широко используются методы вычислительной математики. В случае разделяющихся переменных в статич. и динамич. задачах особенно эффективен метод прогонки, в случае оболочек произвольного очертания- метод конечных элементов.

Лит. : Алумяэ Н. А., Теория упругих оболочек и пластинок, в кн.: Механика в СССР за 50 лет, т. 3, Ы., 1972, с. 227-8В; Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959; Власов В. Э., Общая оболочек и ее приложение в технике, М.- Л., 1949; Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек, 2 изд., М., 1976; Гольденвейзер А. Л., Лидский В. В., Товстик П. Е., Свободные колебания тонких упругих оболочек, М., 1979; Муштари X. М., Галимов К. 3., Нелинейная теория упругих оболочек, Казань, 1957; Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, 2 изд., Л., 1962; Погорелов А. В., Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек, М., 1967; Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник, т. 3, М., 1968.

В. Б. Лидский.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ОБОЛОЧЕК ТЕОРИЯ" в других словарях:

теория оболочек безмоментная - Теория расчёта тонкостенных оболочек, не учитывающая влияния на их напряжённое состояние возникающих в оболочках изгибающих и крутящих моментов ввиду их незначительности [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя… …

теория оболочек мoментная - Теория расчёта тонкостенных оболочек, учитывающая влияние изгибающих и крутящих моментов в приопорных зонах оболочки на её напряжённое состояние [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] Тематики… … Справочник технического переводчика

теория оболочек полумоментная - Теория расчёта тонкостенных оболочек, не учитывающая влияния на напряжённое состояние возникающих в оболочке продольных крутящих и изгибающих моментов и соответствующих им поперечных сил [Терминологический словарь по строительству на 12 языках… … Справочник технического переводчика

Теория расчёта тонкостенных оболочек, не учитывающая влияния на их напряжённое состояние возникающих в оболочках изгибающих и крутящих моментов ввиду их незначительности (Болгарский язык; Български) безмоментна теория на черупките (Чешский язык;… … Строительный словарь

Теория расчёта тонкостенных оболочек, учитывающая влияние изгибающих и крутящих моментов в приопорных зонах оболочки на её напряжённое состояние (Болгарский язык; Български) моментна теория на черупките (Чешский язык; Čeština) ohybová teorie… … Строительный словарь

Теория расчёта тонкостенных оболочек, не учитывающая влияния на напряжённое состояние возникающих в оболочке продольных крутящих и изгибающих моментов и соответствующих им поперечных сил (Болгарский язык; Български) полумоментна теория на… … Строительный словарь

Валентных орбиталей (ОЭПВО) один из подходов в химии, необходимый для объяснения и предсказания геометрии молекул. Согласно этой теории молекула всегда будет принимать форму, при которой отталкивание внешних электронных пар минимально… … Википедия

Одна из ядерно физических моделей, объясняющая структуру атомного ядра. Она аналогична теории оболочечного строения атома. В оболочечной модели атома электроны наполняют электронные оболочки, и, как только оболочка заполнена, значительно… … Википедия

теория ядерных оболочек - sluoksninė branduolio teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. nuclear shell theory vok. Kernschalentheorie, f rus. оболочечная теория ядра, f; теория ядерных оболочек, f pranc. théorie des enveloppes nucléaires, f … Fizikos terminų žodynas

внутреннего избыточного давления происходит с образованием продольной трещины.

1.2. Балочная теория оболочек

1.2.1. Основные определения и допущения

Элементы планера летательного аппарата, как правило, представляют собой удлиненные тонкостенные оболочки цилиндрической или конической формы (фюзеляж, крыло и др.). Оболочка в этом случае чаще всего состоит из тонкой обшивки, подкрепленной продольным (лонжеронами, продольными стенками, стрингерами) и поперечным (нервюрами – в крыле и оперении, шпангоутами – в фюзеляже) силовым набором, который помогает оболочке воспринимать действующие на нее нагрузки. На рис. 1.5 схематично показаны основные силовые элементы крыла.

Верхний пояс лонжерона Стенка лонжерона

Рис. 1.5. Силовые элементы крыла

Воспользуемся данным выше определением срединной поверхности, т.е. поверхности, которая делит толщину обшивки пополам. Кривая, которая получается при пересечении срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной продольной оси оболочки, называется к о н т у р о м п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я.

Поперечное сечение оболочки может иметь контур (рис. 1.6):

− открытый;

− однозамкнутый;

− многозамкнутый.

Рис. 1.6. Виды контуров поперечных сечений оболочки

Рассматриваемые удлиненные тонкостенные оболочки воспринимают поперечные силы Q x , Q y , осевую силу N , изгибающие моменты M x , M y и крутящий момент M z (рис. 1.7), т.е. работают как стержни-балки. Поэтому теория, описывающая их работу, называется балочной. Данная теория справедлива для удлиненных оболочек регулярной конструкции, т.е. не имеющих резких перепадов жесткости по длине.

Рис. 1.7. Силовые факторы, действующие в поперечном сечении оболочки

Балочная теория оболочек основана на следующих допущениях и гипоте-

1. Контур поперечного сечения оболочки считается недеформируемым в своей плоскости. Это допущение основано на том, что реальные конструкции имеют, как правило, достаточно частый поперечный набор из нервюр или шпангоутов.

2. Относительные линейные деформации ε z вдоль продольной оси оболочки (оси z на рис. 1.7) в любом поперечном сечении оболочки распределяются по закону плоских сечений, т.е. не учитывается известная из дисциплины «Сопротивление материалов» д е п л а н а ц и я сечения. Для сечений, находящихся далеко от заделки, это считается допустимым.

3. Действующие на оболочку нагрузки в каждом поперечном сечении сводятся к следующим силовым факторам:

− осевой силе N ;

− поперечным силам Q x , Q y ;

− изгибающим моментам M x , M y ; − крутящему моменту M z .

4. Продольные подкрепляющие обшивку элементы (пояса лонжеронов, стрингеры) работают только на растяжение-сжатие, т.е. воспринимают только

нормальные напряжения σ z , которые вызваны действием изгибающих моментов

M x , M y и осевой силы N . При этом считается, что нормальные напряжения σ z равномерно распределены по сечению элемента.

5. Нормальные σ z и касательные τ напряжения по толщине обшивки распределены равномерно. Это допущение основано на том, что толщина обшивки мала по сравнению с размерами сечения, вследствие чего ее можно считать безмоментной оболочкой. Если толщина обшивки также мала по сравнению с размерами поперечных сечений продольных элементов, то можно ввести допущение о том, что обшивка вообще не работает на растяжение-сжатие от действия изгибающих моментов M x , M y и осевой силы N , т.е. в ней не возникают нор-

мальные напряжения σ z . В этом случае изгибающие моменты M x , M y и осевая сила N воспринимаются только продольными элементами, а обшивка работает только на сдвиг от действия поперечных сил Q x , Q y и крутящего момента M z ,

т.е. в ней возникают только касательные напряжения τ . Если же толщина обшивки значительна по сравнению с размерами поперечных сечений продольных элементов, то ее работой на растяжение-сжатие пренебрегать не следует. В этом случае обшивку можно привести к продольным элементам путем условной замены сечения оболочки системой сосредоточенных площадей, состоящих из площадей сечений продольных элементов с присоединенными площадями участков обшивки, расположенных между продольными элементами (рис. 1.8а). Но можно применить и другую расчетную схему, в которой наоборот площади поперечных сечений продольных элементов равномерно распределяются по контуру поперечного сечения оболочки (рис. 1.8б). В этом случае обшивка условно становится толще, что сказывается на величине нормальных напряже-

ний σ z , действующих в ней. При расчете же касательных напряжений τ , действующих в обшивке, необходимо учитывать только реальную толщину обшивки, без условного утолщения за счет продольных элементов.

Рис. 1.8. Виды расчетных схем тонкостенных подкрепленных оболочек

6. Напряжения в элементах подкрепленной тонкостенной оболочки определяются законом Гука, т.е. не выходят за предел пропорциональности.

7. Считается, что элементы оболочки не теряют устойчивости.

1.2.2. Определение нормальных напряжений

Редуцирование сечения по материалу

Если все элементы оболочки выполнены из одного материала с модулем упругости E , то нормальные напряжения σ z ввиду принятого выше допущения о

распределении относительных линейных деформаций ε z по закону плоских сечений вычисляются по формуле

Однако реальные конструкции часто имеют в своем составе элементы из разных материалов. При расчете таких оболочек все элементы обычно приводятся к одному материалу. Эту операцию приведения называют р е д у ц и р о - в а н и е м с е ч е н и я п о м а т е р и а л у.

Редуцирование производится следующим образом. Пусть в сечении оболочки имеется некий i -й элемент с модулем упругости E i , отличным от модуля упругости E , одинакового для всех остальных элементов. Произведем условную замену этого элемента фиктивным редуцированным элементом с модулем упругости E таким образом, чтобы усилия в действительном и в редуцирован-

где σ i ,σ i р – нормальные напряжения в действительном и в редуцированном

элементах соответственно;

F i , F i р – площади поперечных сечений действительного и редуцирован-

ного элементов соответственно.

Кроме того, должны быть равны относительные линейные деформации действительного и редуцированного элементов

Отсюда, учитывая (1.22), получим формулу для определения площади редуцированного элемента

Отметим, что в качестве материала приведения может быть выбран материал любого элемента оболочки или некоторый несуществующий фиктивный материал.

После выполнения приведения сечения к одному материалу можно перейти непосредственно к расчету нормальных напряжений.

Формула для нормальных напряжений

Осевая сила N во всех точках поперечного сечения оболочки вызовет одинаковые напряжения

где s – криволинейная координата, которая отсчитывается по контуру поперечного сечения оболочки от некоторой начальной точки (рис. 1.7);

F – площадь поперечного сечения оболочки.

Из дисциплины «Сопротивление материалов» известно, что при воздействии только изгибающего момента, например, M x нормальные напряжения можно определить по формуле

где I x – момент инерции поперечного сечения оболочки относительно оси x (рис. 1.7);

y – ордината точки контура поперечного сечения оболочки, где вычисляются напряжения.

В случае сложного нагружения, когда в поперечном сечении оболочки действуют как осевая сила N , так и изгибающие моменты M x и M y , нормальные напряжения можно определить по формуле

Геометрические характеристики сечения, входящие в выражения (1.27) – (1.29), вычисляются по следующим формулам

где δ – толщина обшивки.

1.2.3. Определение касательных напряжений Формула для потока касательных сил

В соответствии с принятыми выше допущениями при поперечном изгибе

и кручении оболочки в ее обшивке возникают касательные напряжения, направленные вдоль контура поперечного сечения оболочки и равномерно распределенные по толщине обшивки. В этом случае удобно пользоваться п о т о -

к о м к а с а т е л ь н ы х с и л

Выведем формулу для определения потока касательных сил.

Выделим из обшивки элемент с размерами dsdz (рис. 1.9а) и рассмотрим его равновесие при неизменной осевой силе (N = const) (рис. 1.9б).

где q 0 (0, z ) – значение потока касательных сил в точке начала отсчета (s = 0). Чтобы найти частную производную ∂σ ∂ z z , стоящую в подынтегральном

выражении в формуле (1.34), продифференцируем выражение для нормальных напряжений (1.29)

17 Полученное выражение подставим в (1.34)

Здесь интегралы представляют собой статические моменты отсеченной части контура (участка контура на дуге от 0 до s )

где q Qx , q Qy – потоки касательных сил от действия поперечных сил Q x и Q y со-

ответственно.

Тогда выражение (1.38) можно переписать следующим образом:

q = q Qx + q Qy + q 0 . (1.41) Следует отметить, что знаки статических моментов S отс x и S отс y зависят от

знаков координат x и y , а также от принятого начала отсчета криволинейной координаты s . Знак потока касательных сил q Q определяется знаками попереч-

ных сил Q x , Q y и знаками статических моментов S отс x , S отс y . При этом положитель-

ный поток касательных сил q Q совпадает по направлению с направлением обхода контура. За положительное направление обхода контура обычно принимается направление против часовой стрелки.

После определения потока касательных сил q можно найти касательные напряжения, используя выражение (1.31)

Определение потока касательных сил в оболочках с открытым контуром поперечного сечения. Центр изгиба

Рассмотрим оболочку с открытым контуром поперечного сечения произвольной формы (1.10). Криволинейную координату s будем отсчитывать от свободного края оболочки (точка A ). Пусть осевая сила отсутствует (N = 0). Тогда край оболочки будет свободен от нагрузки, а это значит, что поток касательных сил в точке A будет равен 0, т.е. q 0 = 0. Следовательно, поток касательных сил q

в соответствии с формулой (1.41) будет определяться только потоками q Qx и q Qy

Из полученного выражения следует, что поток касательных сил в сечении оболочки с открытым контуром поперечного сечения не зависит от величины крутящего момента M z . Это говорит о том, что в оболочках с открытым конту-

Представляет интерес точка, через которую проходит равнодействующая потока касательных сил, действующих в сечении. Найдем ее координаты x * и y *. Для этого составим уравнения моментов относительно любой оси, параллельной оси z . Эта ось оставит в плоскости (x , y ) след в виде точки P(x P , y P ) , ко-

где ρ=ρ(s ) – расстояние от полюса до касательной в текущей точке контура, т.е. плечо элементарной касательной силы q Q ds (рис. 1.10).

Для силы Q x аналогично получим

(рис. 1.10) или ц е н т р о м ж е с т к о с т и (ц.ж.). Как видно из формул (1.46) и (1.47), положение этой точки не зависит от действующих нагрузок и определяется только геометрическими характеристиками сечения. Совокупность центров изгиба сечений по длине оболочки образует о с ь и з г и б а или о с ь ж е с т к о с т и.

Если линия действия поперечной силы проходит через центр изгиба оболочки с открытым контуром, то оболочка будет испытывать только поперечный изгиб. При этом в ее обшивке будет возникать соответствующий поток касательных сил. Если же линия действия поперечной силы проходит не через центр изгиба рассматриваемой оболочки, то она дополнительно создает крутящий момент относительно центра изгиба. Данный момент, как было указано выше, теоретически не может быть воспринят оболочкой, поскольку соответствующий поток касательных сил в оболочке с открытым контуром не возникает. На практике это означает, что при таком приложении нагрузки оболочка скорее всего будет разрушена или, по крайней мере, получит недопустимые деформации.

Определение потока касательных сил в оболочках с однозамкнутым контуром поперечного сечения

Рассмотрим оболочку с однозамкнутым контуром поперечного сечения, нагруженную поперечными силами Q x , Q y и крутящим моментом M z (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Нагружение оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения

Для определения потока касательных сил в оболочках данного типа используют следующий прием. Оболочка условно разрезается вдоль образующей

в произвольном месте поперечного сечения (рис. 1.12). Рассматриваемая оболочка превращается, таким образом, в оболочку с открытым контуром поперечного сечения. Место разреза служит началом отсчета статических моментов отсеченной части поперечного сечения (s = 0).

Рис. 1.12. Условное превращение оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения в оболочку с открытым контуром

Однако поскольку разрез был сделан условно, то считать, что q 0 = 0, как

было в предыдущем случае, нельзя. В общем случае q 0 должен быть отличен от нуля и иметь постоянное значение (q 0 = const). Поэтому полный поток касатель-

Поток касательных сил q Q можно определить как для открытого контура по формуле (1.43), а для определения потока касательных сил q 0 необходимо составить уравнение моментов относительно произвольно выбранного полюса P с координатами (x P , y P ) (рис. 1.13).

Уравнение крутящего момента в данном случае будет иметь вид

Интеграл ρ ds имеет следующий геометрический смысл. Из рис. 1.13

видно, что подынтегральное выражение ρ P , y P )

x Q Q y

Рис. 1.13. К определению потока касательных сил q 0 в оболочке с однозамкнутым контуром поперечного сечения

ω= 1 2 ρds

Рис. 1.14. К определению площади контура поперечного сечения оболочки

Эта формула называется ф о р м у л о й Б р е д т а.

Таким образом, оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения воспринимают произвольно приложенные поперечные силы Q x и Q y , а так-

же крутящий момент M z . Возникающие при этом напряжения определяются, как показано выше, только из уравнений равновесия, поэтому оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения являются статически определимыми.

Определение потока касательных сил в оболочках с многозамкнутым контуром поперечного сечения

В качестве примера оболочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения можно привести крыло современного самолета транспортной категории, имеющее, как правило, несколько лонжеронов и продольных стенок.

Рассмотрим оболочку с n раз замкнутым контуром поперечного сечения, нагруженную поперечными силами Q x , Q y и крутящим моментом M z (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Нагружение оболочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения

Чтобы решить задачу отыскания потока касательных сил q в оболочке с n раз замкнутым контуром поперечного сечения, необходимо сначала превратить рассматриваемую оболочку в оболочку с открытым контуром, разрезав каждый из n контуров. При этом необходимо приложить n неизвестных потоков касательных сил q 0 i (рис. 1.16), поскольку как и в случае с однозамкнутым контуром разрезы делаются условно.

Составим уравнение моментов относительно произвольно выбранного полюса P (x P , y P ):

i= 1

Данное уравнение содержит n неизвестных потоков q 0 i . Таким образом, данная задача является (n – 1) раз статически неопределимой. Для ее решения необходимо использовать условие совместности деформаций.

Таким условием служит равенство углов поворота каждого i -го контура оболочки и угла поворота всего сечения в целом

θ 1 =θ 2 = ...=θ i = ...=θ n =θ . (1.56)

Это условие вытекает из принятого выше допущения о недеформируемости контура поперечного сечения оболочки в своей плоскости.

Основываясь на выражении для потенциальной энергии деформации, полученном в части I настоящего учебного пособия, запишем формулу, описывающую распределенную дополнительную потенциальную энергию деформации, т.е. энергию, соответствующую единице длины оболочки, для некоторого i -го контура многозамкнутого сечения

В соответствии с теоремой Кастильяно, приведенной в части I настоящего учебного пособия, которая гласит, что частная производная от дополнительной потенциальной энергии по силовому фактору равна перемещению по направлению этого силового фактора, запишем выражение для угла закручивания i -го контура

Выполним преобразования с учетом того, что q 0 i = M i (формула (1.58)) 2ω i